Determine o ponto da superfície
no qual o plano tangente é paralelo ao plano de equação
.
Passo 1
Vamos lá! Temos que encontrar um ponto na superfície
onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que dois planos são paralelos se seus vetores normais forem proporcionais. O vetor normal do plano dado
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente da superfície
em um ponto qualquer
. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
O vetor normal ao plano tangente nesse ponto é então
. Queremos que esse vetor seja proporcional ao vetor normal do plano dado
. Ou seja:
Passo 5
Isso nos dá as seguintes equações:
Resolvendo a última equação primeiro:
Passo 6
Substituindo
nas outras equações:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos encontrar
usando a equação da superfície:
Resposta
O ponto na superfície é
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação do plano tangente à superfície
que seja paralelo ao plano de equação
.
O volume molar da glucose em mililitros de soluçăo glucose-água é dado pela equaçăo:
Em que m é a molalidade da soluçăo. O volume parcial da glucose,
, é a inclinaçăo de V versus m da curva,
. Encontre o volume molar parcial da glucoṣe em uma solução a
de glucose em agua.
Se
é uma função diferenciável de uma variável e
, com
, verifique que o plano tangente à superfície
em
passa pela origem.
Determine o domínio da função
dada por
. Qual o valor de
para cada
pertencente ao domínio de
?