Se é uma função diferenciável de uma variável e , com , verifique que o plano tangente à superfície em passa pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui envolve uma função diferenciável de uma variável, , e uma superfície definida por . A gente tem um ponto específico nessa superfície, , onde . O objetivo é mostrar que o plano tangente a essa superfície em passa pela origem, ou seja, pelo ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de funções de várias variáveis, especificamente como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto dado. Vamos usar derivadas parciais para isso e, no final, verificar se a origem satisfaz a equação desse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um plano tangente. Em cálculo multivariável, o plano tangente a uma superfície em um ponto é o melhor “plano inclinado” que toca a superfície nesse ponto. Matemática, a equação do plano tangente pode ser escrita usando as derivadas parciais da função que define a superfície.
No nosso caso, a superfície é dada por . Vamos chamar essa função de , onde .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar em relação a . O representa a derivada de .
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Aqui, novamente usamos a regra da cadeia e também a derivada do produto.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Primeiro, calculamos em :
Em seguida, calculamos em :
Esses valores serão os coeficientes das variáveis e na equação do plano tangente.

Passo 5

A equação geral do plano tangente a em é dada por:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Queremos verificar se esse plano passa pela origem . Para isso, basta substituir , e na equação do plano e ver se a igualdade se mantém.
Substituindo:
Simplificando:
Notamos que e se cancelam:

Passo 7

Agora, precisamos mostrar que . Mas lembremos que o ponto está na superfície . Então, substituindo e na equação da superfície:
Isso confirma que , ou seja, , o que é verdade. Portanto, a equação do plano tangente realmente passa pela origem.

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto passa pela origem .

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