Encontre a equação da reta interseção dos planos x+y-3 z-5=0 e y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a equação da reta que é a interseção dos dois planos dados pelas equações e . Isso faz parte da Geometria Analítica, e vamos usar métodos de álgebra para encontrar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos para encontrar uma relação entre as variáveis x + y - 3z - 5 = 0 (1) y + z = 0 (2) , e . As equações são:

Passo 3

Vamos usar a equação (2) para expressar uma das variáveis em termos de outra. A partir de y = -z , podemos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos x + (-z) - 3z - 5 = 0 na equação (1) para encontrar uma relação entre x - z - 3z - 5 = 0 e x - 4z - 5 = 0 :
Simplificando:

Passo 5

Isolando x = 4z + 5 , temos:

Passo 6

Agora, temos z = t e y = -t em função de x = 4t + 5 . Podemos parametrizar a reta usando um parâmetro , onde . Assim:

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a equação da reta de forma paramétrica:
x = 5 + 4t y = -t z = t onde t in R

Resposta

A equação da reta interseção dos planos é:
x = 5 + 4t y = -t z = t onde t in R

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