Seja
um vetor genérico do
. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do
?
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma aplicação definida é um operador linear no espaço
. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um operador linear e como testá-lo.
Passo 2
Primeiro, bora relembrar o que é um operador linear. Um operador
é linear se satisfaz duas propriedades para todos os vetores
e
em
e para todo escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Se ambas as propriedades forem verdadeiras, então
é um operador linear.
Passo 3
Agora, vamos analisar a aplicação que foi dada:
Aqui,
é um vetor genérico em
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos testar a aditividade. Precisamos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Claramente,
. Então, a propriedade da aditividade não é satisfeita.
Passo 5
Mesmo que a aditividade já falhe, vamos checar a homogeneidade para fins de completude:
A menos que
,
. Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
não satisfaz as propriedades de aditividade nem de homogeneidade, ela não é um operador linear do
.