Seja um vetor genérico do . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do ?
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma aplicação definida é um operador linear no espaço . A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um operador linear e como testá-lo.

Passo 2

Primeiro, bora relembrar o que é um operador linear. Um operador é linear se satisfaz duas propriedades para todos os vetores e em e para todo escalar :
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Se ambas as propriedades forem verdadeiras, então é um operador linear.

Passo 3

Agora, vamos analisar a aplicação que foi dada:
Aqui, é um vetor genérico em , ou seja, .

Passo 4

Vamos testar a aditividade. Precisamos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Claramente, . Então, a propriedade da aditividade não é satisfeita.

Passo 5

Mesmo que a aditividade já falhe, vamos checar a homogeneidade para fins de completude:
A menos que , . Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

Como a aplicação não satisfaz as propriedades de aditividade nem de homogeneidade, ela não é um operador linear do .

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