Seja u=(x, y, z, t) um vetor genérico do R^4. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do R^4 ?
F(u)=u+(1,0,1,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma aplicação definida é um operador linear no espaço . A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um operador linear e como testá-lo.

Passo 2

Primeiro, bora relembrar o que é um operador linear. Um operador é linear se satisfaz duas propriedades para todos os vetores e em e para todo escalar :
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Se ambas as propriedades forem verdadeiras, então é um operador linear.

Passo 3

Agora, vamos analisar a aplicação que foi dada:
F(u) = u + (1, 0, 1, 0)
Aqui, é um vetor genérico em , ou seja, .

Passo 4

Vamos testar a aditividade. Precisamos ver se:
F(u + v) = F(u) + F(v)
Calculando o lado esquerdo:
F(u + v) = (u + v) + (1, 0, 1, 0)
E o lado direito:
F(u) + F(v) = [u + (1, 0, 1, 0)] + [v + (1, 0, 1, 0)] = u + v + (2, 0, 2, 0)
Claramente, . Então, a propriedade da aditividade não é satisfeita.

Passo 5

Mesmo que a aditividade já falhe, vamos checar a homogeneidade para fins de completude:
F(cu) = cu + (1, 0, 1, 0)
cF(u) = c[u + (1, 0, 1, 0)] = cu + c(1, 0, 1, 0)
A menos que , . Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

Como a aplicação não satisfaz as propriedades de aditividade nem de homogeneidade, ela não é um operador linear do .

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