Encontre uma base dos espaços linha e coluna da matriz
A=(cccccc 1 & 2 & 1 & -1 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -1 & 1 & -1 -1 & 0 & -1 & -2 & -1 & 2 -2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 )
Determine o posto da matriz A.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base dos espaços linha e coluna da matriz e determinar o posto dessa matriz. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao estudo de espaços vetoriais e ao conceito de posto de uma matriz. Para resolver, vamos precisar aplicar operações de linhas para simplificar a matriz e identificar suas linhas e colunas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & 1 & -1 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -1 & 1 & -1 -1 & 0 & -1 & -2 & -1 & 2 -2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 :
Nossa primeira tarefa é simplificar essa matriz usando operações de linhas para chegar à forma escalonada, o que nos ajudará a identificar linhas e colunas independentes.

Passo 3

Vamos iniciar o processo de eliminação. O objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Operação 1: Subtrair a primeira linha da segunda linha:
R2' = R2 - R1 Rightarrow (1-1, 0-2, 3-1, -1-(-1), 1-2, -1-1) = (0, -2, 2, 0, -1, -2)
Operação 2: Adicionar a primeira linha à terceira linha:
R3' = R3 + R1 Rightarrow (-1+1, 0+2, -1+1, -2+(-1), -1+2, 2+1) = (0, 2, 0, -3, 1, 3)
Operação 3: Adicionar duas vezes a primeira linha à quarta linha:
R4' = R4 + 2R1 Rightarrow (-2+2, 0+4, 1+2, 1+(-2), -1+4, 1+2) = (0, 4, 3, -1, 3, 3)
Após essas operações, a matriz fica:
A' = 1 & 2 & 1 & -1 & 2 & 1 0 & -2 & 2 & 0 & -1 & -2 0 & 2 & 0 & -3 & 1 & 3 0 & 4 & 3 & -1 & 3 & 3

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda coluna. Primeiro, vamos tornar o segundo elemento da segunda coluna igual a 1.
Operação 4: Multiplicar a segunda linha por R2' = -12 R2 Rightarrow (0, 1, -1, 0, 12, 1) :
R3' = R3 - 2R2 Rightarrow (0, 2-2(1), 0-2(-1), -3-2(0), 1-2(12), 3-2(1)) = (0, 0, 2, -3, 0, 1)
Agora, usaremos essa linha para eliminar os outros elementos da segunda coluna.
Operação 5: Subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
R4' = R4 - 4R2 Rightarrow (0, 4-4(1), 3-4(-1), -1-4(0), 3-4(12), 3-4(1)) = (0, 0, 7, -1, 1, -1)
Operação 6: Subtrair 4 vezes a segunda linha da quarta linha:
A'' = 1 & 2 & 1 & -1 & 2 & 1 0 & 1 & -1 & 0 & 12 & 1 0 & 0 & 2 & -3 & 0 & 1 0 & 0 & 7 & -1 & 1 & -1
A matriz agora é:

Passo 5

Continuando, vamos trabalhar com a terceira coluna.
Operação 7: Dividir a terceira linha por 2 para tornar o coeficiente igual a 1:
R3' = 12 R3 Rightarrow (0, 0, 1, -32, 0, 12)
Agora, eliminaremos o elemento na terceira coluna da quarta linha.
Operação 8: Subtrair 7 vezes a terceira linha da quarta linha:
R4' = R4 - 7R3 Rightarrow (0, 0, 7-7(1), -1 -7(-32), 1 -7(0), -1 -7(12)) = (0, 0, 0, 192, 1, -92)
A matriz fica:
A''' = 1 & 2 & 1 & -1 & 2 & 1 0 & 1 & -1 & 0 & 12 & 1 0 & 0 & 1 & -32 & 0 & 12 0 & 0 & 0 & 192 & 1 & -92

Passo 6

Por fim, vamos simplificar a quarta linha.
Operação 9: Multiplicar a quarta linha por R4' = 219 R4 Rightarrow (0, 0, 0, 1, 219, -919) para tornar o coeficiente igual a 1:
A'''' = 1 & 2 & 1 & -1 & 2 & 1 0 & 1 & -1 & 0 & 12 & 1 0 & 0 & 1 & -32 & 0 & 12 0 & 0 & 0 & 1 & 219 & -919
Agora, a matriz está em forma escalonada reduzida:

Passo 7

Com a matriz em forma escalonada, podemos identificar o posto da matriz, que é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada. Neste caso, todas as quatro linhas são não nulas, então o posto da matriz é 4.
Agora, para encontrar uma base para o espaço linha, observamos as linhas não nulas da forma escalonada. Portanto, as linhas da matriz escalonada formam uma base para o espaço linha.
Para encontrar uma base para o espaço coluna, identificamos as colunas que contêm os pivôs (os primeiros 1s em cada linha da forma escalonada). As colunas 1, 2, 3 e 4 da matriz original correspondem aos pivôs. Assim, as colunas 1, 2, 3 e 4 da matriz original formam uma base para o espaço coluna.

Resposta

O posto da matriz é 4. Uma base para o espaço linha é formada pelas quatro linhas não nulas da forma escalonada de , e uma base para o espaço coluna é constituída pelas colunas 1, 2, 3 e 4 da matriz original .

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