Encontre uma base dos espaços linha e coluna da matriz
Determine o posto da matriz A.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base dos espaços linha e coluna da matriz e determinar o posto dessa matriz. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao estudo de espaços vetoriais e ao conceito de posto de uma matriz. Para resolver, vamos precisar aplicar operações de linhas para simplificar a matriz e identificar suas linhas e colunas independentes.
Nossa primeira tarefa é simplificar essa matriz usando operações de linhas para chegar à forma escalonada, o que nos ajudará a identificar linhas e colunas independentes.
Passo 3
Vamos iniciar o processo de eliminação. O objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Operação 1: Subtrair a primeira linha da segunda linha:
Agora, a matriz está em forma escalonada reduzida:
Passo 7
Com a matriz em forma escalonada, podemos identificar o posto da matriz, que é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada. Neste caso, todas as quatro linhas são não nulas, então o posto da matriz é 4.
Agora, para encontrar uma base para o espaço linha, observamos as linhas não nulas da forma escalonada. Portanto, as linhas da matriz escalonada formam uma base para o espaço linha.
Para encontrar uma base para o espaço coluna, identificamos as colunas que contêm os pivôs (os primeiros 1s em cada linha da forma escalonada). As colunas 1, 2, 3 e 4 da matriz original correspondem aos pivôs. Assim, as colunas 1, 2, 3 e 4 da matriz original formam uma base para o espaço coluna.
Resposta
O posto da matriz é 4. Uma base para o espaço linha é formada pelas quatro linhas não nulas da forma escalonada de , e uma base para o espaço coluna é constituída pelas colunas 1, 2, 3 e 4 da matriz original .