Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
8.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que precisa ser feito. A gente tem a função e precisa encontrar a equação da reta que tangencia essa curva no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está na curva dada. Substituindo na função:
Então, o ponto está certinho na curva.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Usando a regra da potência e a regra da cadeia, a derivada é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 5
Com a inclinação encontrada e conhecendo o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é baseada na equação ponto-inclinação: