Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
8.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisa ser feito. A gente tem a função e precisa encontrar a equação da reta que tangencia essa curva no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está na curva dada. Substituindo na função:
Então, o ponto está certinho na curva.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Usando a regra da potência e a regra da cadeia, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação encontrada e conhecendo o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é baseada na equação ponto-inclinação:
Substituindo , e :

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Trace ou copie o gráfico da função dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de abaixo.
7.
©
Um saltador de penhasco se lança de uma altura de 30 m com relação à superficie da água. A distância percorrida pelo saltador em segundo de sua queda é dada pela função .
(a) Depois de quantos segundos o saltador atinge a água?
(b) Encontre a velocidade instantânea quando .