Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para determinar a inclinação da reta tangente e, a partir disso, descobrir a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de é , então aplicando isso:
Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Sabendo a inclinação da reta ( ) e o ponto pelo qual ela passa , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Use os gráficos dados para estimar o valor de cada derivada. Esboce então o gráfico de .
  1. (h)
(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo:
(iv)
(a) Encontre a inclinação da tangente à curva no ponto onde .
(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo:
(ii)