Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
6. y = x^2 - 2 x^3, (1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para determinar a inclinação da reta tangente e, a partir disso, descobrir a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de é , então aplicando isso:
Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Sabendo a inclinação da reta ( ) e o ponto pelo qual ela passa , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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