(a) Encontre a inclinação da tangente à curva no ponto onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inclinação da tangente à curva no ponto onde . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da tangente em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a função de forma mais fácil de derivar usando potências:
Agora, aplicamos a regra do poder para derivar:

Passo 4

Simplificando a expressão da derivada:
Essa é a expressão que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 5

Agora, queremos a inclinação no ponto onde . Basta substituir por na expressão da derivada:

Resposta

A inclinação da tangente à curva no ponto onde é .

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(ii)
Use os gráficos dados para estimar o valor de cada derivada. Esboce então o gráfico de .
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