(a) Encontre a inclinação da tangente à curva no ponto onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inclinação da tangente à curva no ponto onde . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da tangente em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a .
Passo 3
Vamos escrever a função de forma mais fácil de derivar usando potências:
Agora, aplicamos a regra do poder para derivar:
Passo 4
Simplificando a expressão da derivada:
Essa é a expressão que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 5
Agora, queremos a inclinação no ponto onde . Basta substituir por na expressão da derivada:
Resposta
A inclinação da tangente à curva no ponto onde é .