Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
(a) f(x) = e^x / x, (1, e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva definida pela função no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de , que representa a inclinação da curva em qualquer ponto . A função que temos é uma divisão de duas funções: no numerador e no denominador. Para derivar isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicando esses valores na Regra do Quociente:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a derivada , vamos calcular o valor da derivada no ponto , que nos dará a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 0.

Passo 5

Com a inclinação e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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