Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas de primeira orgem dos itens abaixo:
(g) y = ln(5x/(x+1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a derivada de primeira ordem da função usando a regra da cadeia. Pra isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e entender como aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que o logaritmo de uma fração é igual à diferença dos logaritmos do numerador e do denominador. Então:
Isso facilita na hora de derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada de em relação a é , onde é uma função de .

Passo 4

Vamos começar derivando :
  • Função interna (u):
  • Derivada da função interna (u’):
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos derivar :
  • Função interna (u):
  • Derivada da função interna (u’):
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

Juntando as derivadas que encontramos:
Podemos simplificar isso para ter uma resposta mais elegante:
Então, a derivada de é:

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