Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas de primeira orgem dos itens abaixo:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a derivada de primeira ordem da função
usando a regra da cadeia. Pra isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e entender como aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que o logaritmo de uma fração é igual à diferença dos logaritmos do numerador e do denominador. Então:
Isso facilita na hora de derivar cada parte separadamente.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
, onde
é uma função de
.
Passo 4
Vamos começar derivando
:
- Função interna (u):
- Derivada da função interna (u’):
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos derivar
:
- Função interna (u):
- Derivada da função interna (u’):
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
Juntando as derivadas que encontramos:
Podemos simplificar isso para ter uma resposta mais elegante:
Então, a derivada de
é: