Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: y=x²-4x-5; P=(-2,7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = x^2 - 4x - 5 $ no ponto $ P = (-2, 7) $. Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas, porque a reta tangente tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto específico. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar essa inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = x^2 - 4x - 5 $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para derivar, aplicamos as regras básicas:
y = x^2 - 4x - 5

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ P = (-2, 7) $. Basta substituir $ x = -2 $ na expressão da derivada:
P = (-2, 7)
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -8 $.

Passo 4

Com a inclinação $ m = -8 $ e o ponto $ P = (-2, 7) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
m = -8
Substituindo os valores:
P = (-2, 7)

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para a forma geral $ y = mx + b $:
y = mx + b

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto $ P = (-2, 7) $ é:
P = (-2, 7)

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