Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: y=x²-4x-5; P=(-2,7)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = x^2 - 4x - 5 $ no ponto $ P = (-2, 7) $. Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas, porque a reta tangente tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto específico. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar essa inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = x^2 - 4x - 5 $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para derivar, aplicamos as regras básicas:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ P = (-2, 7) $. Basta substituir $ x = -2 $ na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -8 $.
Passo 4
Com a inclinação $ m = -8 $ e o ponto $ P = (-2, 7) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para a forma geral $ y = mx + b $:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto $ P = (-2, 7) $ é: