Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, com isso, montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função .
Passo 3
A derivada de em relação a é dada por:
Essa fórmula nos diz a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto . Primeiro, calculamos e .
Sabemos que:
E:
Passo 5
Substituindo esses valores na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .
Passo 6
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando essa equação para a forma mais comum:
Ou, se preferir deixá-la assim mesmo, também está correta.