Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, com isso, montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função
.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é dada por:
Essa fórmula nos diz a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto
. Primeiro, calculamos
e
.
Sabemos que:
E:
Passo 5
Substituindo esses valores na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando essa equação para a forma mais comum:
Ou, se preferir deixá-la assim mesmo, também está correta.
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
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569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(3940.6,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4512.6,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>
Seja
f(x) da questão imediatamente anterior. Determine
f'(0), f''(1) ,
f'''(2) e
f^(i v)(3) .