Encontre a equação da reta tangente à curva y = sec(x) no ponto (pi / 3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, com isso, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função .

Passo 3

A derivada de em relação a é dada por:
Essa fórmula nos diz a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto . Primeiro, calculamos e .
Sabemos que:
E:

Passo 5

Substituindo esses valores na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando essa equação para a forma mais comum:
Ou, se preferir deixá-la assim mesmo, também está correta.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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