Encontre a equação da reta tangente à curva f(x) = e^x / x no ponto (1, e).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de , que representa a inclinação da curva em qualquer ponto . Vamos derivar .

Passo 3

Para derivar , usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é .
Aqui, e . Então, vamos calcular e :

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:

Passo 5

Com a derivada encontrada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 0.

Passo 6

Sabemos que a inclinação da reta tangente é 0 e ela passa pelo ponto . Usamos a forma da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto.

Passo 7

Substituindo os valores:
Isso simplifica para:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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