Encontre a equação da reta normal ao gráfico de que é paralela à reta .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a equação da reta normal ao gráfico de que é paralela à reta .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial (Derivadas) e Geometria Analítica (Equações de Retas).
O que precisamos: Entender como encontrar a reta normal a uma curva em um ponto específico e garantir que ela seja paralela a uma reta dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta normal. A reta normal em um ponto de uma curva é perpendicular à reta tangente à curva nesse ponto. Então, para encontrar a reta normal, precisamos:
  1. Encontrar a derivada da função para obter a inclinação da reta tangente.
  2. Determinar a inclinação da reta normal a partir da inclinação da tangente.
  3. Encontrar o ponto na curva onde a reta normal tem a inclinação desejada.
  4. Escrever a equação da reta normal usando o ponto encontrado e a inclinação.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Sabemos que a reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é , a inclinação da normal é:
A reta dada pode ser escrita na forma explícita , então sua inclinação é .
Como queremos que a reta normal seja paralela a essa reta, a inclinação da nossa normal também será .

Passo 5

Agora, igualamos a inclinação da normal à inclinação desejada para encontrar a inclinação da tangente:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, usamos a derivada que encontramos para igualar à inclinação da tangente:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por e dividindo por -1:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 8

Resolvendo a equação:

Passo 9

Agora, encontramos os valores de correspondentes substituindo de volta na função original:
Para :
Para :
Então, temos dois pontos potenciais: e .

Passo 10

Vamos verificar a inclinação da tangente em ambos os pontos para garantir qual deles atende à condição:
Para :
Para :
A inclinação da tangente em é , que é a que buscamos. Portanto, nosso ponto de interesse é .

Passo 11

Agora, usamos o ponto e a inclinação da reta normal para escrever a equação da reta normal. Usamos a forma ponto-inclinação:

Resposta

A equação da reta normal é

Exercícios relacionados

Decida se as funções abaixo são deriváveis no ponto .
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de sen no ponto .
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Seja uma função tal que . Sabendo-se que , calcule . Deduza que se é derivável em então é derivável em qualquer e vale a fórmula .