Encontre a equação da reta normal ao gráfico de
que é paralela à reta
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a equação da reta normal ao gráfico de
que é paralela à reta
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial (Derivadas) e Geometria Analítica (Equações de Retas).
O que precisamos: Entender como encontrar a reta normal a uma curva em um ponto específico e garantir que ela seja paralela a uma reta dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta normal. A reta normal em um ponto de uma curva é perpendicular à reta tangente à curva nesse ponto. Então, para encontrar a reta normal, precisamos:
- Encontrar a derivada da função para obter a inclinação da reta tangente.
- Determinar a inclinação da reta normal a partir da inclinação da tangente.
- Encontrar o ponto na curva onde a reta normal tem a inclinação desejada.
- Escrever a equação da reta normal usando o ponto encontrado e a inclinação.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
para encontrar a inclinação da reta tangente.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Sabemos que a reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal é:
A reta dada
pode ser escrita na forma explícita
, então sua inclinação é
.
Como queremos que a reta normal seja paralela a essa reta, a inclinação da nossa normal também será
.
Passo 5
Agora, igualamos a inclinação da normal à inclinação desejada para encontrar a inclinação da tangente:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, usamos a derivada que encontramos para igualar à inclinação da tangente:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por -1:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Passo 9
Agora, encontramos os valores de
correspondentes substituindo
de volta na função original:
Para
:
Para
:
Então, temos dois pontos potenciais:
e
.
Passo 10
Vamos verificar a inclinação da tangente em ambos os pontos para garantir qual deles atende à condição:
Para
:
Para
:
A inclinação da tangente em
é
, que é a que buscamos. Portanto, nosso ponto de interesse é
.
Passo 11
Agora, usamos o ponto
e a inclinação da reta normal
para escrever a equação da reta normal. Usamos a forma ponto-inclinação:
Resposta
A equação da reta normal é
Exercícios relacionados
Decida se as funções abaixo são deriváveis no ponto
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
sen
no ponto
.
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Seja
uma função tal que
. Sabendo-se que
, calcule
. Deduza que se
é derivável em
então
é derivável em qualquer
e vale a fórmula
.