Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de x. [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
a) f(x) = x^2, x0 = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, que nos dão a inclinação da reta tangente em um ponto específico, e como usar essa inclinação junto com o ponto para montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de tangência. Sabemos que , então vamos calcular :
Portanto, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Isso é dado pela derivada da função avaliada em .
A derivada de é:
Então, avaliando em :
Então, a inclinação da reta tangente é 6.

Passo 4

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma padrão:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto onde é:

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