Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um número complexo qualquer,
, e precisamos analisar o conjunto de todos os números complexos
que satisfazem à condição
. Vamos usar conceitos de números complexos, análise de conjuntos no plano complexo e propriedades como aberto, fechado, fronteira, domínio e se são limitados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Se
, onde
e
são números reais, então:
Então, a parte real de
é
.
Passo 3
A condição dada é
, ou seja:
Vamos analisar esse conjunto no plano
, que representa o plano complexo.
Passo 4
A equação
representa uma hipérbole. A desigualdade
inclui todas as regiões externas a essa hipérbole, ou seja, as partes que ficam para a direita e para a esquerda da hipérbole.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o conjunto é aberto ou fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. Como a desigualdade é
, o conjunto inclui a hipérbole
, então ele é fechado.
Passo 6
Para determinar a fronteira do conjunto, observamos que é exatamente a hipérbole
. A fronteira separa os pontos que pertencem ao conjunto dos que não pertencem.
Passo 7
Vamos ver se o conjunto é um domínio. Um domínio no plano complexo é um conjunto aberto e conexo. Como nosso conjunto é fechado e não aberto, ele não é um domínio.
Passo 8
Por fim, vamos verificar se o conjunto é limitado. Um conjunto limitado está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano. Como a hipérbole se estende infinitamente nas direções dos
, o conjunto não é limitado.
Resposta
O conjunto
corresponde às regiões externas de uma hipérbole no plano complexo. Esse conjunto é fechado, sua fronteira é a hipérbole
, não é um domínio e não é limitado.
Exercícios relacionados
Calcule
e
onde
é (i) o retângulo delimitado pelas retas
,
e
, (ii)
e
tem orientação compativel).
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de
. [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
a)
a)
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
.