Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um número complexo qualquer, , e precisamos analisar o conjunto de todos os números complexos que satisfazem à condição . Vamos usar conceitos de números complexos, análise de conjuntos no plano complexo e propriedades como aberto, fechado, fronteira, domínio e se são limitados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Se , onde e são números reais, então:
Então, a parte real de é .

Passo 3

A condição dada é , ou seja:
Vamos analisar esse conjunto no plano , que representa o plano complexo.

Passo 4

A equação representa uma hipérbole. A desigualdade inclui todas as regiões externas a essa hipérbole, ou seja, as partes que ficam para a direita e para a esquerda da hipérbole.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o conjunto é aberto ou fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. Como a desigualdade é , o conjunto inclui a hipérbole , então ele é fechado.

Passo 6

Para determinar a fronteira do conjunto, observamos que é exatamente a hipérbole . A fronteira separa os pontos que pertencem ao conjunto dos que não pertencem.

Passo 7

Vamos ver se o conjunto é um domínio. Um domínio no plano complexo é um conjunto aberto e conexo. Como nosso conjunto é fechado e não aberto, ele não é um domínio.

Passo 8

Por fim, vamos verificar se o conjunto é limitado. Um conjunto limitado está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano. Como a hipérbole se estende infinitamente nas direções dos , o conjunto não é limitado.

Resposta

O conjunto corresponde às regiões externas de uma hipérbole no plano complexo. Esse conjunto é fechado, sua fronteira é a hipérbole , não é um domínio e não é limitado.

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Calcule
e
onde é (i) o retângulo delimitado pelas retas , e , (ii) e tem orientação compativel).
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de . [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
a)
Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. .