Utilize a técnica da derivada primeira, para verificar os intervalos de crescimento e de decrescimento de funções, para esboçar os gráficos das seguintes funções:
a) x^3 + 3x

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos usar a técnica da derivada primeira para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função . Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar seus pontos críticos e determinar onde a derivada é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em cada ponto e nos ajuda a entender o comportamento da função.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, é um polinômio, que existe para todo , então vamos igualar a derivada a zero:
Como não existe valor real de que satisfaça , concluímos que não há pontos críticos reais para essa função.

Passo 4

Como não há pontos críticos, a derivada é sempre positiva (pois é sempre não negativo e somamos 3). Portanto, para todo .

Passo 5

Se a derivada é sempre positiva, isso significa que a função está sempre crescendo em todo o seu domínio, ou seja, para todos os valores de .

Resposta

A função está crescente em todo o seu domínio, ou seja, para todos os valores de .

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