Utilize a técnica da derivada primeira, para verificar os intervalos de crescimento e de decrescimento de funções, para esboçar os gráficos das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar a técnica da derivada primeira, que nos ajuda a determinar o comportamento da função em relação ao aumento ou diminuição. Precisaremos calcular a derivada da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em cada ponto. Usamos as regras de derivação para polinômios:
Calculando cada termo:
Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a determinar onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo
:
Podemos fatorar os termos:
Isso nos dá as soluções:
Então:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Com os pontos críticos em mãos, vamos dividir a reta numérica em intervalos determinados por esses pontos:
Agora, vamos escolher um valor de
em cada intervalo e verificar o sinal da derivada
nesse ponto. O sinal da derivada nos diz se a função está crescente (derivada positiva) ou decrescente (derivada negativa) naquele intervalo.
Passo 5
Vamos testar cada intervalo:
-
Intervalo
: - Escolha
-
(negativo) - Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
-
(positivo) - A função está crescendo nesse intervalo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
-
(negativo) - A função está decrescendo nesse intervalo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
-
(positivo) - A função está crescendo nesse intervalo.
- Escolha
Passo 6
Com base nos sinais da derivada, podemos resumir os intervalos de crescimento e decrescimento da função
:
- Crescendo em
e - Decrescendo em
e
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e decrescendo nos intervalos
e
.