Utilize a técnica da derivada primeira, para verificar os intervalos de crescimento e de decrescimento de funções, para esboçar os gráficos das seguintes funções:
b) 2 x^6 - 3 x^4 + 2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar a técnica da derivada primeira, que nos ajuda a determinar o comportamento da função em relação ao aumento ou diminuição. Precisaremos calcular a derivada da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em cada ponto. Usamos as regras de derivação para polinômios:
Calculando cada termo:
Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a determinar onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo :
Podemos fatorar os termos:
Isso nos dá as soluções:
Então:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Com os pontos críticos em mãos, vamos dividir a reta numérica em intervalos determinados por esses pontos:
Agora, vamos escolher um valor de em cada intervalo e verificar o sinal da derivada nesse ponto. O sinal da derivada nos diz se a função está crescente (derivada positiva) ou decrescente (derivada negativa) naquele intervalo.

Passo 5

Vamos testar cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • Escolha
    • (negativo)
    • Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha
    • (positivo)
    • A função está crescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha
    • (negativo)
    • A função está decrescendo nesse intervalo.
  4. Intervalo :
    • Escolha
    • (positivo)
    • A função está crescendo nesse intervalo.

Passo 6

Com base nos sinais da derivada, podemos resumir os intervalos de crescimento e decrescimento da função :
  • Crescendo em e
  • Decrescendo em e

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e decrescendo nos intervalos e .

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