Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
a)
;
a)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: precisamos encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Além disso, devemos identificar os domínios da função original e da sua derivada. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de derivada, que envolve limites e álgebra básica.
Passo 2
A definição de derivada de uma função
é dada por:
Vamos aplicar essa definição à função
.
Passo 3
Primeiro, substituímos
e
na fórmula:
Passo 4
Agora, expandimos
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 5
Simplificamos a expressão subtraindo
:
Passo 6
Fatoramos
no numerador:
Cancelamos
no numerador e denominador:
Passo 7
Finalmente, aplicamos o limite quando
tende a 0:
Passo 8
Identificamos os domínios:
- A função original
está definida para todos os números reais, ou seja, . - A derivada
também está definida para todos os números reais, .
Resposta
A derivada da função
é
. Os domínios da função e da derivada são todos os números reais.
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que passa pelo ponto
e que é paralela à reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Encontre a equação da reta
tangente ao gráfico de , no ponto de abscissa
;
tangente ao gráfico de
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
e) ;
e)