Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ y = \frac{1}{x} $ no ponto $ \left(2, \frac{1}{2}\right) $. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
A reta tangente em um ponto de uma curva tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Então, nosso primeiro passo é descobrir a derivada da função $ y = \frac{1}{x} $, que nos dará a inclinação da reta em qualquer ponto $ x $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y = \frac{1}{x} $. Lembrando que $ \frac{1}{x} $ pode ser escrita como $ x^{-1} $. Usando a regra do poder para derivadas, que diz que $ \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1} $, temos:
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 2 $. Substituímos $ x = 2 $ na derivada:
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente nesse ponto é $ -\frac{1}{4} $.
Passo 5
Com a inclinação $ m = -\frac{1}{4} $ e o ponto $ \left(2, \frac{1}{2}\right) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma $ y = mx + b $:
Adicionando $ \frac{1}{2} $ em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = -\frac{1}{4}x + 1 $.