Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem uma raiz no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação $ x^{3} + x - 1 = 0 $ tem pelo menos uma raiz no intervalo $ (0, 1) $. Isso envolve conceitos de continuidade de funções e como elas se comportam em determinados intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário. Basicamente, ele diz que se você tem uma função contínua em um intervalo
e um valor $ d $ que está entre $ f(a) $ e $ f(b) $, então existe pelo menos um ponto $ c $ no intervalo $ (a, b) $ onde $ f© = d $.
Passo 3
Agora, nossa função é $ f(x) = x^{3} + x - 1 $. Vamos verificar se ela é contínua no intervalo
. Como $ f(x) $ é um polinômio, sabemos que todas as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. Então, estamos prontos para aplicar o teorema.
Passo 4
Vamos calcular os valores de $ f(x) $ nas extremidades do intervalo:
-
Em $ x = 0 $:
-
Em $ x = 1 $:
Passo 5
Agora, observamos que $ f(0) = -1 $ e $ f(1) = 1 $. O valor que estamos procurando é $ d = 0 $, que está entre $ -1 $ e $ 1 $. De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, como $ f(x) $ é contínua no intervalo
e $ 0 $ está entre $ f(0) $ e $ f(1) $, deve existir pelo menos um valor $ c $ em $ (0, 1) $ tal que $ f© = 0 $.
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Valor Intermediário, mostramos que a equação $ x^{3} + x - 1 = 0 $ tem pelo menos uma raiz no intervalo $ (0, 1) $.