Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função $ f(x) = \frac{x{3}+1}{x{2}-4} $. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções racionais, que envolvem olhar para os limites da função e ver onde o denominador se anula.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas aparecem onde o denominador da função é zero, porque aí a função não está definida e o gráfico “vai pro infinito”. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Resolvendo:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
Agora, precisamos verificar se nesses pontos o numerador também é zero. Se o numerador for zero no mesmo lugar que o denominador, então temos um ponto onde a função é indeterminada, mas não uma assíntota vertical.
Vamos verificar:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Como o numerador não é zero nesses pontos, confirmamos que existem assíntotas verticais em $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Para encontrar essas assíntotas, comparamos os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
- O grau do numerador ($ x^{3} + 1 $) é 3.
- O grau do denominador ($ x^{2} - 4 $) é 2.
Quando o grau do numerador é maior que o grau do denominador, como aqui (3 > 2), não existe uma assíntota horizontal. Em vez disso, a função pode ter uma assíntota oblíqua, mas como o exercício pede apenas as horizontais e verticais, a gente para por aqui.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x{3}+1}{x{2}-4} $ possui assíntotas verticais em $ x = 2 $ e $ x = -2 $ e não possui assíntotas horizontais.