Encontre a equação simétrica e as equações paramétricas da reta que contém os pontos A=(1,1,1) e B=(-3,-2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação simétrica e as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e . Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, onde vamos precisar usar vetores e coordenadas para descrever a reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta, que é basicamente a direção da reta. Para isso, subtraímos as coordenadas de AB = B - A = (-3 - 1, -2 - 1, -1 - 1) = (-4, -3, -2) e :
Esse vetor nos dá a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos montar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas permitem expressar cada coordenada da reta em função de um parâmetro, geralmente representado por x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t . A fórmula geral é:
x = 1 - 4t y = 1 - 3t z = 1 - 2t
Onde é um ponto da reta (usaremos o ponto ) e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora vamos para a equação simétrica da reta. Essa equaç��o relaciona as três coordenadas t = x - 1-4 = y - 1-3 = z - 1-2 , x - 1-4 = y - 1-3 = z - 1-2 Rightarrow 1 - x4 = 1 - y3 = 1 - z2 e eliminando o parâmetro . A ideia é resolver cada equação paramétrica para e igualar as expressões.
Das equações paramétricas:
Podemos simplificar os sinais:

Passo 5

Então, a equação simétrica da reta fica:
1 - x4 = 1 - y3 = 1 - z2

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 1 - 4t y = 1 - 3t z = 1 - 2t
E a equação simétrica da reta é:
1 - x4 = 1 - y3 = 1 - z2

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