Encontre a equação geral do plano que contém os pontos A=(m, 2,-2), B= (3,-m, 2) e C=(0,0, m) em termos do parâmetro m in R.

Passo 1

Beleza, vamos resumir a questão! Precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a geometria analítica, mais especificamente a fórmula para a equação do plano através de três pontos. Vamos precisar calcular vetores no plano e encontrar um vetor normal a esse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos definir dois vetores que estão no plano. Podemos obter esses vetores usando os pontos fornecidos:
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores AB times AC = i & j & k 3 - m & -m - 2 & 4 -m & -2 & m + 2 e . Esse vetor perpendicular será o vetor normal ao plano. Para isso, vamos calcular o produto vetorial .
O produto vetorial é calculado pela fórmula:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do vetor normal:
  • Componente (-m - 2)(m + 2) - 4(-2) = (-m^2 - 4m - 4) + 8 = -m^2 - 4m + 4 :
(3 - m)(m + 2) - 4(-m) = (3m + 6 - m^2 - 2m) + 4m = -m^2 + 5m + 6
  • Componente -(-m^2 + 5m + 6) = m^2 - 5m - 6 :
(3 - m)(-2) - (-m - 2)(-m) = (-6 + 2m) - (m^2 + 2m) = -m^2 + 0m - 6
Mas lembre-se de trocar o sinal para o componente n = ( -m^2 - 4m + 4, m^2 - 5m - 6, -m^2 - 6 ) , então fica:
  • Componente :
Portanto, o vetor normal é:

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto do plano, podemos usar a fórmula da equação do plano:
(-m^2 - 4m + 4)(x - m) + (m^2 - 5m - 6)(y - 2) + (-m^2 - 6)(z + 2) = 0
Vamos usar o ponto (-m^2 - 4m + 4)x + (m^2 - 5m - 6)y + (-m^2 - 6)z + constantes = 0 :
(-m^2 - 4m + 4)x + (m^2 - 5m - 6)y + (-m^2 - 6)z + (m^3 + 4m^2 - 4m^2 + 20m + 12 - 2m^2 - 12) = 0
Agora, vamos expandir e simplificar essa equação:
(m^3 - 2m^2 + 20m) + outros termos = 0
Agrupando os termos, temos a equação geral do plano em função de :
Simplificando os termos constantes:

Resposta

A equação geral do plano é:
(-m^2 - 4m + 4)x + (m^2 - 5m - 6)y + (-m^2 - 6)z + m^3 - 2m^2 + 20m = 0

Exercícios relacionados

Encontre o valor x in R a fim de que u times v=(-3,6,-5) dados que u=(1, x, 3) e v=(3,4, x).
Determine o vetor x tal que 2 v-3 x=u+2 w onde u=(1,-1,1), v= (2,3,-3) e w=(-4,5,-3).
Determine o ângulo formado entre os vetores v=(-8,4,1) e u=(9,-6,2).
Encontre a equação simétrica e as equações paramétricas da reta que contém os pontos A=(1,1,1) e B=(-3,-2,-1).