Encontre equações paramétricas para a reta
(a) que passa pela origem e é paralela ao vetor .
(b) que passa por e é perpendicular ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de duas retas diferentes. Na primeira parte (a), a reta passa pela origem e é paralela a um vetor específico. Na segunda parte (b), a reta passa por um ponto dado e é perpendicular a um plano. Para resolver, vamos usar conceitos de vetores e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Parte (a)

Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem (0, 0, 0) e é paralela ao vetor .

Passo 3

Uma equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde é um ponto da reta e são as componentes do vetor diretor da reta.

Passo 4

No nosso caso, a reta passa pela origem, então . O vetor diretor é , que tem componentes , e .

Passo 5

Substituindo esses valores na equação paramétrica, ficamos com:
Simplificando:

Passo 6

Parte (b)

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano .

Passo 7

Para uma reta ser perpendicular a um plano, seu vetor diretor deve ser paralelo ao vetor normal do plano. O vetor normal de um plano da forma é . No nosso caso, o vetor normal é .

Passo 8

Usando a mesma fórmula das equações paramétricas:
Aqui, o ponto que a reta passa é e o vetor diretor é , ou seja, , e .

Passo 9

Substituindo na equação paramétrica, temos:
Simplificando:

Resposta

(a) As equações paramétricas da reta que passa pela origem e é paralela a são:
(b) As equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano são:

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Demonstrar que o vetor é perpendicular ao vetor . Dê uma interpretação geométrica.
Determine o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto e os três vértices adjacentes nos pontos e .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
Em cada item abaixo, determine , o cosseno do ângulo entre e , a componente escalar de na direção de (isto é, , com o ângulo entre e ) e o vetor .
(a) e .
(b) e .