Demonstrar que o vetor w = v - <u,v>/<u,u> * u é perpendicular ao vetor u. Dê uma interpretação geométrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor . O objetivo é mostrar que esse vetor w é perpendicular ao vetor u. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto interno (ou produto escalar) e a ideia de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais) se o produto interno deles for zero. Ou seja, precisamos mostrar que .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno . Substituindo w pela expressão dada:

Passo 4

Agora, usando a propriedade do produto interno que permite distribuir sobre a subtração:

Passo 5

Observamos que <u,u></u,v> é igual a (produto interno é comutativo). Então:

Passo 6

Simplificando a expressão, vemos que os termos se cancelam:

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, o vetor w é perpendicular ao vetor u. Geometricamente, isso significa que w é a componente de v que está “fora” da direção de u, formando um ângulo reto com u.

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