Demonstrar que o vetor
é perpendicular ao vetor
. Dê uma interpretação geométrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor
. O objetivo é mostrar que esse vetor
é perpendicular ao vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto interno (ou produto escalar) e a ideia de vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais) se o produto interno deles for zero. Ou seja, precisamos mostrar que
.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
. Substituindo
pela expressão dada:
Passo 4
Agora, usando a propriedade do produto interno que permite distribuir sobre a subtração:
Passo 5
Observamos que
é igual a
(produto interno é comutativo). Então:
Passo 6
Simplificando a expressão, vemos que os termos
se cancelam:
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja, o vetor
é perpendicular ao vetor
. Geometricamente, isso significa que
é a componente de
que está “fora” da direção de
, formando um ângulo reto com
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto
e os três vértices adjacentes nos pontos
e
.
Se
e
são vetores tais que
e
, determine
.
Encontre equações paramétricas para a reta
(a) que passa pela origem e é paralela ao vetor .
(b) que passa por e é perpendicular ao plano
.
(a) que passa pela origem e é paralela ao vetor
(b) que passa por
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®