Demonstrar que o vetor é perpendicular ao vetor . Dê uma interpretação geométrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor . O objetivo é mostrar que esse vetor é perpendicular ao vetor . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto interno (ou produto escalar) e a ideia de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais) se o produto interno deles for zero. Ou seja, precisamos mostrar que .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno . Substituindo pela expressão dada:

Passo 4

Agora, usando a propriedade do produto interno que permite distribuir sobre a subtração:

Passo 5

Observamos que é igual a (produto interno é comutativo). Então:

Passo 6

Simplificando a expressão, vemos que os termos se cancelam:

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, o vetor é perpendicular ao vetor . Geometricamente, isso significa que é a componente de que está “fora” da direção de , formando um ângulo reto com .

Exercícios relacionados

Determine o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto e os três vértices adjacentes nos pontos e .
Se e são vetores tais que e , determine .
Encontre equações paramétricas para a reta
(a) que passa pela origem e é paralela ao vetor .
(b) que passa por e é perpendicular ao plano .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®