Determine o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto e os três vértices adjacentes nos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o volume de um paralelepípedo que tem um vértice no ponto e os três vértices adjacentes nos pontos , e . Nosso conteúdo aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de volume de paralelepípedos usando determinantes. Vamos precisar usar vetores e o cálculo de determinantes de matrizes 3x3 para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem do ponto para os pontos , e . Esses vetores são essenciais porque eles vão definir as direções das arestas do paralelepípedo.
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz 3x3 com esses vetores. A gente coloca cada vetor como uma coluna da matriz:
Para encontrar o volume do paralelepípedo, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando os valores da nossa matriz:

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse determinante. Então:
ú

Resposta

O volume do paralelepípedo é 52 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Se e são vetores tais que e , determine .
Julgue a veracidade das afirmações abaixo, assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique cada uma de suas respostas.
(a) ( ) Se os vetores e são ortogonais, então ou .
(b) ( ) Se e tem a mesma norma, então e são ortogonais.
© ( ) O triângulo determinado pelos pontos e é um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice .
(d) ( ) , com , então .
(e) ( ) A área do triângulo determinado pelos vetores é 4 .
Demonstrar que o vetor é perpendicular ao vetor . Dê uma interpretação geométrica.
Encontre equações paramétricas para a reta
(a) que passa pela origem e é paralela ao vetor .
(b) que passa por e é perpendicular ao plano .