Encontre as equações para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro t = 0 :
r(t) = sen(t)i + (t^2 - cos(t))j + e^t k

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma curva definida pela função vetorial:
O objetivo é encontrar as equações da reta que é tangente a essa curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro . Para resolver isso, vamos precisar calcular o ponto na curva quando e a direção da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função vetorial em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Substituímos t por 0 na função r(t):
Sabemos que , e , então:
Portanto, o ponto na curva quando é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente no ponto . Para isso, calculamos a derivada da função vetorial r(t) em relação a t:
Derivando cada componente:

Passo 4

Agora, avaliamos a derivada em para encontrar a direção da reta tangente:
Sabemos que , e , então:
Portanto, o vetor direção da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. Sejam x, y e z as coordenadas da reta e s o parâmetro da reta, temos:
Então, as equações paramétricas da reta tangente são:

Resposta

As equações da reta tangente à curva no parâmetro são:
onde s é o parâmetro da reta.

Exercícios relacionados

Obtenha a primitiva por substituição de variáveis:
integral (ln (x))^4x d x
Mostre que a série de Taylor para f(x) = sen x em x = 0 converge para todo valor real x.
Obtenha a curvatura, kappa da curva r(t) = sent i + cos(t) j + t k com relação a variável comprimento de arco s.
Verifique para cada alternativa se ela é verdadeira ou falsa
(F) integral d tt(1+ln t) raiz(ln t)(2+ln t)=ln t (2+ln t)-t ln t+ln t(2+ln t)+c
( ) integral x^3 cos (x^2) d x=x^2 sen(x^2)+2 x cos (x^2)-3 cos (x^2) sen(x^2)+c