Mostre que a série de Taylor para f(x) = sen x em x = 0 converge para todo valor real x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a série de Taylor da função em torno de converge para todo valor real de . Isso tá ligado ao conteúdo de séries de Taylor e ao teste de convergência, que a gente vai precisar usar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função em (também chamada de série de Maclaurin). A série é uma soma infinita de termos que representam a função. Para , a série fica:
Isso significa que temos termos alternados de potências ímpares de divididos pelo fatorial correspondente.

Passo 3

Agora, pra verificar se essa série converge para todo , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar o raio de convergência de uma série. A ideia é olhar para o limite da razão entre termos consecutivos da série quando vai para o infinito.

Passo 4

Vamos definir o termo geral da série de Taylor da :
Agora, vamos calcular a razão entre e :
Simplificando essa expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, se o limite da razão entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, , que é menor que 1 para qualquer valor de . Isso significa que a série de Taylor da converge para todo real.

Resposta

Portanto, mostramos que a série de Taylor para em converge para qualquer valor real de .

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