Verifique para cada alternativa se ela é verdadeira ou falsa
(F) integral d tt(1+ln t) raiz(ln t)(2+ln t)=ln t (2+ln t)-t ln t+ln t(2+ln t)+c
( ) integral x^3 cos (x^2) d x=x^2 sen(x^2)+2 x cos (x^2)-3 cos (x^2) sen(x^2)+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas integrais aqui e precisa verificar se as igualdades apresentadas estão certas ou erradas. O conteúdo envolvido é o cálculo de integrais, provavelmente usando substituição e partes. Vamos precisar lembrar dessas técnicas para resolver as integrais e comparar com as respostas dadas.

Passo 2

Primeira Alternativa:
Temos a integral:
integral dtt(1+ln t) raiz(ln t)(2+ln t) = ln t cdot (2+ln t) - t ln t + ln t(2+ln t) + C
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 2.1: Vamos simplificar a expressão no denominador:
t(1+ln t) raiz(ln t)(2+ln t) = t(1+ln t) raizln t raiz2+ln t
Passo 2.2: Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja:
u = ln t
Então, a derivada de du = 1t dt Rightarrow dt = t , du em relação a integral dtt(1+u) raizu(2+u) = integral t , dut(1+u) raizu(2+u) = integral du(1+u) raizu(2+u) é:
integral du(1+u) raizu(2+u)
Passo 2.3: Substituindo na integral:
Passo 2.4: Agora, precisamos resolver:
Essa integral parece complicada, e ao tentar resolvê-la, percebemos que a expressão dada como resultado não corresponde ao que obteríamos após realizar a substituição corretamente.
Portanto, a igualdade apresentada não está correta.

Passo 3

Segunda Alternativa:
Temos a integral:
integral x^3 cos(x^2) , dx = x^2 sin(x^2) + 2x cos(x^2) - 3 cos(x^2) sin(x^2) + C
Vamos resolver essa integral para verificar se a igualdade está certa.
Passo 3.1: Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2
Passo 3.2: Reescrevendo a integral em termos de integral x^3 cos(x^2) , dx = integral x^2 cdot x cos(u) , dx = integral u cos(u) cdot du2 = 12 integral u cos(u) , du :
Seja v = u Rightarrow dv = du dw = cos(u) , du Rightarrow w = sin(u)
Passo 3.3: Agora, usamos a técnica de integração por partes, onde:
12 ( u sin(u) - integral sin(u) , du ) = 12 ( u sin(u) + cos(u) ) + C
Aplicando integração por partes:
12 ( x^2 sin(x^2) + cos(x^2) ) + C
Passo 3.4: Substituindo de volta x^2 sin(x^2) + 2x cos(x^2) - 3 cos(x^2) sin(x^2) + C :
Comparando com a expressão dada:
Vemos que os termos não correspondem, então a igualdade apresentada está errada.

Resposta

Ambas as alternativas apresentadas são falsas.

Exercícios relacionados

Obtenha a curvatura, kappa da curva r(t) = sent i + cos(t) j + t k com relação a variável comprimento de arco s.
Encontre as equações para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro t = 0 :
r(t) = sen(t)i + (t^2 - cos(t))j + e^t k
integral d uu^2+a^2=1a arctg(ua)+c
Calcular integral duplaS 2 z d S, sendo S a parte do parabolóide y=x^2, delimitada pelos planos z=0, z=4, x=0 e x=2.