Verifique para cada alternativa se ela é verdadeira ou falsa
(F)
( )
(F)
( )
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas integrais aqui e precisa verificar se as igualdades apresentadas estão certas ou erradas. O conteúdo envolvido é o cálculo de integrais, provavelmente usando substituição e partes. Vamos precisar lembrar dessas técnicas para resolver as integrais e comparar com as respostas dadas.
Passo 2
Primeira Alternativa:
Temos a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 2.1: Vamos simplificar a expressão no denominador:
Passo 2.2: Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 2.3: Substituindo na integral:
Passo 2.4: Agora, precisamos resolver:
Essa integral parece complicada, e ao tentar resolvê-la, percebemos que a expressão dada como resultado não corresponde ao que obteríamos após realizar a substituição corretamente.
Portanto, a igualdade apresentada não está correta.
Passo 3
Segunda Alternativa:
Temos a integral:
Vamos resolver essa integral para verificar se a igualdade está certa.
Passo 3.1: Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja:
Passo 3.2: Reescrevendo a integral em termos de
:
Passo 3.3: Agora, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Passo 3.4: Substituindo de volta
:
Comparando com a expressão dada:
Vemos que os termos não correspondem, então a igualdade apresentada está errada.
Resposta
Ambas as alternativas apresentadas são falsas.
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.
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, sendo
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, delimitada pelos planos
e
.