Obtenha a primitiva por substituição de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma primitiva usando substituição de variáveis para a integral
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar entender como fazer essa troca de variáveis para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão
, percebemos que o termo
está elevado à quarta potência e multiplicado por
. Isso sugere que a gente pode usar
como substituição.
Passo 3
Com
, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso é ótimo porque o nosso denominador na integral original é
, que aparece exatamente em
.
Passo 4
Agora, vamos substituir na integral original:
Essa substituição simplifica bastante a integral, tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta para
:
Resposta
A primitiva é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a série de Taylor para
converge para todo valor real
.
Obtenha a primitiva por substituição de variáveis:
Encontre as equações para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro
:
Obtenha a curvatura,
da curva
com relação a variável comprimento de arco
.