Obtenha a primitiva por substituição de variáveis:
integral (ln (x))^4x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma primitiva usando substituição de variáveis para a integral . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar entender como fazer essa troca de variáveis para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão , percebemos que o termo está elevado à quarta potência e multiplicado por . Isso sugere que a gente pode usar como substituição.

Passo 3

Com dudx = 1x implies du = 1x , dx , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso é ótimo porque o nosso denominador na integral original é , que aparece exatamente em .

Passo 4

Agora, vamos substituir na integral original:
integral (ln (x))^4x , dx = integral u^4 , du
Essa substituição simplifica bastante a integral, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar integral u^4 , du = u^55 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^55 + C = (ln(x))^55 + C de volta para :

Resposta

A primitiva é .

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Obtenha a primitiva por substituição de variáveis:
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