Seja X a variável aleatória que represente o número de homens com mais de 40 anos de idade, diagnosticados com câncer de próstata, que sobrevivam por 10 anos ou mais. Admita também que a taxa de sobrevivência seja de apenas
. Pede-se: em uma amostra aleatória de 450 homens com mais de 40 anos de idade, diagnosticados com câncer de próstata, calcule a probabilidade de que pelo menos 2 homens sobrevivam.
Passo 1
Vamos lá! Temos um problema de probabilidade onde queremos descobrir a chance de, em uma amostra de 450 homens com mais de 40 anos diagnosticados com câncer de próstata, pelo menos 2 deles sobrevivam por 10 anos ou mais. A taxa de sobrevivência é de 1,1%. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Primeiro, vamos definir os parâmetros da distribuição binomial:
- n é o número total de tentativas, que nesse caso é 450 homens.
- p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, que é 1,1% ou 0,011.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 2 homens sobreviverem, ou seja,
. Em termos de probabilidade, isso é o mesmo que 1 menos a probabilidade de nenhum homem sobreviver (
) menos a probabilidade de exatamente 1 homem sobreviver (
).
Matematicamente:
Passo 4
Vamos calcular
usando a fórmula da distribuição binomial:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular os valores numéricos:
- Primeiro, calculamos
:
(Usamos a aproximação
para simplificar o cálculo)
- Então,
- E
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula original:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 2 homens sobrevivam é aproximadamente 96,03%.
Exercícios relacionados
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo
é interceptado.
.
Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais: