Encontre, se existirem, as seguintes integrais impróprias
c integral-infty^0 e^x raiz1+e^x d x integral-1^1 11-x^2 d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos duas integrais impróprias para resolver:
c integral-infty^0 e^x raiz1+e^x , dx integral-1^1 11-x^2 , dx
O assunto aqui é integrais impróprias, que são integrais onde os limites de integração são infinitos ou onde a função tem alguma descontinuidade no intervalo. Para resolver essas integrais, vamos usar conceitos de limites e análise de convergência.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral-infty^0 e^x raiz1+e^x , dx
Essa integral é imprópria porque o limite inferior de integração é lima to -infty integrala^0 e^x raiz1+e^x , dx . Para resolver, vamos transformar isso em um limite finito:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja dudx = e^x Rightarrow du = e^x dx . Então, a derivada de lima to -infty integralu(a)^u(0) raizu , du em relação a é:
Isso simplifica nossa integral para:
Quando , . E quando , .

Passo 4

Agora, integraremos integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
23 [ u^3/2 ]u(a)^2 = 23 ( 2^3/2 - (1 + e^a)^3/2 )
Então, a integral definida fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando lima to -infty 23 ( 2^3/2 - (1 + e^a)^3/2 ) = 23 ( 2^3/2 - 1^3/2 ) = 23 (2raiz2 - 1) . Note que tende a 0 quando . Portanto:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral-1^1 11-x^2 , dx
Essa integral é imprópria porque a função tem descontinuidades em e , que são os limites de integração.

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função perto das descontinuidades. A função pode ser decomposta em frações parciais:
11 - x^2 = 12 ( 11 - x + 11 + x )
Então, a integral se torna:
12 ( integral-1^1 11 - x , dx + integral-1^1 11 + x , dx )

Passo 8

Analisando cada parte, vemos que ambas as integrais envolvem logaritmos que tendem ao infinito nas descontinuidades. Portanto, a integral original diverge.

Resposta

A primeira integral converge e seu valor é . A segunda integral é divergente.

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