Encontre, se existirem, as seguintes integrais impróprias
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos duas integrais impróprias para resolver:
O assunto aqui é integrais impróprias, que são integrais onde os limites de integração são infinitos ou onde a função tem alguma descontinuidade no intervalo. Para resolver essas integrais, vamos usar conceitos de limites e análise de convergência.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Essa integral é imprópria porque o limite inferior de integração é
. Para resolver, vamos transformar isso em um limite finito:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso simplifica nossa integral para:
Quando
,
. E quando
,
.
Passo 4
Agora, integraremos
:
Então, a integral definida fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
. Note que
tende a 0 quando
. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa integral é imprópria porque a função
tem descontinuidades em
e
, que são os limites de integração.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função perto das descontinuidades. A função pode ser decomposta em frações parciais:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Analisando cada parte, vemos que ambas as integrais envolvem logaritmos que tendem ao infinito nas descontinuidades. Portanto, a integral original diverge.
Resposta
A primeira integral converge e seu valor é
. A segunda integral é divergente.