Calcule as seguintes integrais definidas:
integral3^4 log xx log x-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer calcular a integral definida:
integral3^4 log xx log x - x , dx
Aqui, estamos lidando com integrais definidas, que são usadas para encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
x log x - x = x (log x - 1)
Então, a integral fica:
integral3^4 log xx (log x - 1) , dx
Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil. Vamos deixar:
u = log x - 1
Então, derivando ambos os lados em relação a du = 1x , dx Rightarrow dx = x , du :
Mas como temos na substituição, podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral log xx (log x - 1) , dx = integral u + 1u cdot 1x , dx
Como = integral (1 + 1u) , du , substituímos:
Agora, essa é uma integral mais simples de resolver!

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
integral (1 + 1u) , du = integral 1 , du + integral 1u , du = u + ln |u| + C
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 5

Agora, voltamos para a variável original u = log x - 1 :
u + ln |u| = (log x - 1) + ln |log x - 1|
Então, a solução da integral é:

Resposta

A integral definida é igual a:
[ (log x - 1) + ln (log x - 1) ] g|3^4
Calculando nos limites de 3 a 4:
( (log 4 - 1) + ln (log 4 - 1) ) - ( (log 3 - 1) + ln (log 3 - 1) )
Este é o valor final da integral!

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