Mostre que se
é contínua num intervalo que contenha
, então
é uma primitiva de
neste mesmo intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se a função
é contínua num intervalo que contém
, então a função
é uma primitiva de
nesse mesmo intervalo. Basicamente, vamos usar o que a gente conhece sobre integrais e derivadas para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma primitiva. Uma função
é uma primitiva de
se a derivada de
for igual a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa é uma integral definida de
de 0 até
. Para encontrar a derivada de
, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga integrais e derivadas.
Passo 4
O Teorema Fundamental do Cálculo, na sua primeira parte, diz que se
é contínua num intervalo e
, então a derivada de
em relação a
é igual a
, ou seja,
.
Passo 5
Aplicando esse teorema na nossa função
, temos que:
Isso mostra que a derivada de
é igual a
, o que quer dizer que
é uma primitiva de
.
Resposta
Portanto, mostramos que
é uma primitiva de
no intervalo considerado.