Mostre que se f(x) é contínua num intervalo que contenha x=0, então
g(x)=integral0^x f(z) d z
é uma primitiva de f(x) neste mesmo intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se a função g(x) = integral0^x f(z) , dz é contínua num intervalo que contém , então a função
é uma primitiva de nesse mesmo intervalo. Basicamente, vamos usar o que a gente conhece sobre integrais e derivadas para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma primitiva. Uma função é uma primitiva de se a derivada de for igual a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Essa é uma integral definida de de 0 até . Para encontrar a derivada de , vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga integrais e derivadas.

Passo 4

O Teorema Fundamental do Cálculo, na sua primeira parte, diz que se é contínua num intervalo e , então a derivada de em relação a é igual a , ou seja, .

Passo 5

Aplicando esse teorema na nossa função g'(x) = ddx ( integral0^x f(z) , dz ) = f(x) , temos que:
Isso mostra que a derivada de é igual a , o que quer dizer que é uma primitiva de .

Resposta

Portanto, mostramos que é uma primitiva de no intervalo considerado.

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