Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a expansão em série de Fourier da função periódica
com período
. A matéria envolvida aqui é a série de Fourier, que nos ajuda a expressar funções periódicas como uma soma de funções senoidais (seno e cosseno). Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e os conceitos básicos de séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Isso ajuda porque a série de Fourier é baseada em funções senoidais de múltiplos harmônicos da frequência fundamental.
Passo 3
Agora que simplificamos
, podemos identificar os termos da série de Fourier. A expressão
é o termo constante (coeficiente
), e
é o termo da segunda harmônica (coeficiente
).
Passo 4
Como a função
é par (a paridade da função) e não temos termos de seno, a série de Fourier será composta apenas por termos de cosseno. Além disso, como já expressamos
em termos de
, não há mais harmônicos a adicionar.
Resposta
A expansão em série de Fourier da função
com período
é:
Exercícios relacionados
Encontre nos seguintes exercícios as derivadas
e
sem eliminar o parâmetro
(e)
(e)
Aplique o teste da divergência e diga o que ele afirma para cada série.
Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Calcule os limites abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.