Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período T = 2 L. f(x) = cos²(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a expansão em série de Fourier da função periódica com período . A matéria envolvida aqui é a série de Fourier, que nos ajuda a expressar funções periódicas como uma soma de funções senoidais (seno e cosseno). Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e os conceitos básicos de séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Isso ajuda porque a série de Fourier é baseada em funções senoidais de múltiplos harmônicos da frequência fundamental.

Passo 3

Agora que simplificamos , podemos identificar os termos da série de Fourier. A expressão é o termo constante (coeficiente ), e é o termo da segunda harmônica (coeficiente ).

Passo 4

Como a função é par (a paridade da função) e não temos termos de seno, a série de Fourier será composta apenas por termos de cosseno. Além disso, como já expressamos em termos de , não há mais harmônicos a adicionar.

Resposta

A expansão em série de Fourier da função com período é:

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