Aplique o teste da divergência e diga o que ele afirma para cada série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série infinita
e precisamos aplicar o Teste da Divergência para ver se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos revisar o que é esse teste e como usá-lo.
Passo 2
O Teste da Divergência é uma ferramenta básica em séries infinitas. Ele diz o seguinte: se o limite do termo geral da série, ou seja,
, não for igual a zero, então a série diverge. Em outras palavras, para que uma série possa convergir, os termos individuais dela precisam se aproximar de zero quando n cresce sem limites.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse termo conforme n vai para o infinito:
Passo 5
Segundo o Teste da Divergência, se o limite dos termos for diferente de zero, a série diverge. Mas no nosso caso, o limite é exatamente zero. Isso significa que o teste não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Ou seja, a série pode tanto convergir quanto divergir, e precisamos usar outro teste para descobrir isso.
Resposta
Aplicando o Teste da Divergência, o limite dos termos é zero, então o teste não conclui se a série
converge ou diverge.