Encontre nos seguintes exercícios as derivadas
e
sem eliminar o parâmetro
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas primeira
e segunda
das funções paramétricas dadas por
e . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções paramétricas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos funções paramétricas
e
, a derivada
pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Dada , a derivada de
em relação a
é:
Dada
Calculando
:
Dada , a derivada de em relação a
é:
Dada , a derivada de
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da derivada de
em relação a
:
Então, a derivada primeira
é:
Passo 5
Para encontrar a derivada segunda
, precisamos derivar
em relação a
e depois multiplicar por
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, sabemos que .
Então, a derivada segunda é:
Resposta
A derivada primeira é
e a derivada segunda é
.