Encontre nos seguintes exercícios as derivadas y'(x) e y''(x) sem eliminar o parâmetro
(e) x = 3 cos t, y = 5 sen t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas primeira e segunda das funções paramétricas dadas por e . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções paramétricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos funções paramétricas e , a derivada pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Dada , a derivada de em relação a é:
Calculando :
Dada , a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da derivada de em relação a :
Então, a derivada primeira é:

Passo 5

Para encontrar a derivada segunda , precisamos derivar em relação a e depois multiplicar por .
Primeiro, calculamos :
Agora, sabemos que .
Então, a derivada segunda é:

Resposta

A derivada primeira é e a derivada segunda é .

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