(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar ou explicar por que não existem alguns limites envolvendo a função sinal (sgn) quando x se aproxima de 0. Vamos precisar entender o que é a função sinal e como calcular limites laterais e o limite geral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função sinal, . Ela é definida assim:
Então, ela basicamente nos diz se um número é positivo, negativo ou zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o primeiro limite:
Isso significa que x está se aproximando de 0 vindo pela direita (valores positivos). Sabemos que para todo x > 0, . Então, conforme x se aproxima de 0 pela direita, sempre será 1.
Passo 4
Próximo, vamos calcular o segundo limite:
Aqui, x está se aproximando de 0 vindo pela esquerda (valores negativos). Para todo x < 0, . Assim, conforme x se aproxima de 0 pela esquerda, sempre será -1.
Passo 5
Agora, vamos considerar o terceiro limite:
Para que esse limite exista, os limites laterais devem ser iguais. Mas vimos que:
Como 1 ≠ -1, o limite geral não existe.
Passo 6
Por fim, vamos calcular o último limite:
O valor absoluto da função sinal será:
Então, tanto pela direita quanto pela esquerda, . Portanto, o limite quando x se aproxima de 0 é 1.