(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites a seguir.
lim x 0^+ sgn x, lim x 0^- sgn x, lim x 0 sgn x, lim x 0|sgn x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar ou explicar por que não existem alguns limites envolvendo a função sinal (sgn) quando x se aproxima de 0. Vamos precisar entender o que é a função sinal e como calcular limites laterais e o limite geral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função sinal, sgn x = 1 & se x > 0, 0 & se x = 0, -1 & se x < 0 . Ela é definida assim:
Então, ela basicamente nos diz se um número é positivo, negativo ou zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o primeiro limite:
lim x 0^+ sgn x
Isso significa que x está se aproximando de 0 vindo pela direita (valores positivos). Sabemos que para todo x > 0, . Então, conforme x se aproxima de 0 pela direita, sempre será 1.

Passo 4

Próximo, vamos calcular o segundo limite:
lim x 0^- sgn x
Aqui, x está se aproximando de 0 vindo pela esquerda (valores negativos). Para todo x < 0, . Assim, conforme x se aproxima de 0 pela esquerda, sempre será -1.

Passo 5

Agora, vamos considerar o terceiro limite:
lim x 0 sgn x
Para que esse limite exista, os limites laterais devem ser iguais. Mas vimos que:
lim x 0^+ sgn x = 1
lim x 0^- sgn x = -1
Como 1 ≠ -1, o limite geral não existe.

Passo 6

Por fim, vamos calcular o último limite:
lim x 0|sgn x|
O valor absoluto da função sinal será:
|sgn x| = 1 & se x neq 0, 0 & se x = 0
Então, tanto pela direita quanto pela esquerda, . Portanto, o limite quando x se aproxima de 0 é 1.

Resposta

lim x 0^+ sgn x = 1, lim x 0^- sgn x = -1, lim x 0 sgn x não existe, lim x 0|sgn x| = 1 ã

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