Encontre a expressão campo elétrico devido a uma peça cilíndrica dielétrica, homogeneamente carregada, para pontos externos próximos a superfície lateral da peça. (b) Assumindo que essa peça tenha um diâmetro de base de 40 cm , um comprimento de 2 m e carga total de 120 mC , determine a variação do potencial elétrico de um ponto a 190 mm do cixo central da peça, na direção radial, para um ponto a 210 mm desse mesmo eixo e na mesma direção radial. São dadas as permissividades elétricas da peça e do meio onde essa se encontra respectivamente iguais a e . ( 1,5 pontos).
Obs: Todas as grandezas físicas em negrito são grandezas vetoriais.
Obs2: Todas as grandezas vetoriais deverão ser expressas de alguma forma como vetores.
Obs3: As respostas finais deverāo ter a precisão mínima de duas casas decimais.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre campo elétrico e potencial elétrico em uma peça cilíndrica dielétrica carregada. Primeiro, precisamos entender que a peça tem uma carga distribuída de forma homogênea, e queremos encontrar o campo elétrico externo próximo à sua superfície lateral. Depois, vamos calcular a variação do potencial elétrico entre dois pontos específicos na direção radial. Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico e a relação entre campo elétrico e potencial para encontrar a variação de potencial.

Passo 2

Dados fornecidos:
  • Diâmetro da base da peça cilíndrica: 40 cm → raio cm = 0,20 m
  • Comprimento da peça: m
  • Carga total: mC = C
  • Permitividade elétrica da peça: C²/Nm²
  • Permitividade elétrica do meio: C²/Nm²

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico externo a um cilindro carregado, usamos a Lei de Gauss. Consideramos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a peça, com raio maior que o raio da peça ( ).
A Lei de Gauss é dada por:
Como o campo elétrico é radial e uniforme na superfície gaussiana, a integral se simplifica para:
Portanto, o campo elétrico externo é:
Como o campo é vetorial, podemos expressá-lo como:

Passo 4

Agora, para a parte (b), queremos determinar a variação do potencial elétrico entre dois pontos a distâncias radiais mm = 0,190 m e mm = 0,210 m do eixo central da peça.
A relação entre campo elétrico e potencial elétrico é:
Como o campo é radial e na direção de , a integral simplifica para:
Substituindo a expressão de :

Passo 5

Vamos calcular a carga por unidade de comprimento :
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, substituímos os valores:
Calculando a constante:
E o logaritmo:
Portanto:
O sinal negativo indica que o potencial diminui na direção do campo elétrico.

Resposta

A variação do potencial elétrico entre os pontos especificados é aproximadamente .

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