Encontre a f.d.a de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a) da função dada:
Aqui, estamos trabalhando com probabilidade discreta, já que a variável $ k $ assume valores inteiros positivos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função de distribuição acumulada e como somar probabilidades para eventos discretos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função de distribuição acumulada (f.d.a). A f.d.a, denotada por $ F(k) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ K $ seja menor ou igual a um valor específico $ k $:
Ou seja, somamos todas as probabilidades desde $ n = 1 $ até $ n = k $ para encontrar $ F(k) $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função dada:
Queremos somar essa função de $ n = 1 $ até $ n = k $:
Isso é uma série geométrica, onde cada termo é a metade do anterior.
Passo 4
A soma de uma série geométrica finita pode ser calculada pela fórmula:
Aqui, $ r = \frac{1}{2} $. Substituindo na fórmula:
Resposta
A função de distribuição acumulada é: