Se X é uma v.a. tendo distribuição Lognormal com parâmetros alpha e beta, calcule E[X], sigma^2(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Lognormal, com parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $. A gente precisa encontrar o valor esperado $ E[X] $ e a variância $ \sigma^{2}(X) $ dessa variável. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidades relacionadas à distribuição lognormal e às suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Lognormal. Se $ X $ é Lognormal com parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $, isso significa que o logaritmo de $ X $, ou seja, $ \ln(X) $, segue uma distribuição Normal com média $ \alpha $ e variância $ \beta^{2} $. Formalmente:
X
Isso é importante porque as propriedades da distribuição Normal vão nos ajudar a encontrar $ E[X] $ e $ \sigma^{2}(X) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado $ E[X] $. Existe uma fórmula específica para o valor esperado de uma variável lognormal:
E[X]
Isso significa que para achar $ E[X] $, a gente simplesmente substitui os valores de $ \alpha $ e $ \beta $ na fórmula.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a variância $ \sigma^{2}(X) $ da variável $ X $. A fórmula para a variância de uma variável lognormal é:
sigma^2(X)
Essa fórmula leva em conta a variabilidade da distribuição Normal associada ao logaritmo de $ X $.

Resposta

O valor esperado de $ X $ é $ E[X] = e^{\alpha + \frac{\beta^{2}}{2}} $ e a variância de $ X $ é $ \sigma^{2}(X) = \left(e{\beta{2}} - 1\right) e^{2\alpha + \beta^{2}} $.

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