Mostre que se X é uma v.a. com E[X]=mu (finito) tal que P(|X-mu| >= c)=0 para todo c>0, então P(X=mu)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se uma variável aleatória $ X $ tem esperança matemática $ E[X] = \mu $ (que é um número finito) e a probabilidade de $ X $ estar a uma distância maior ou igual a qualquer $ c > 0 $ de $ \mu $ é zero, então isso significa que $ X $ é igual a $ \mu $ com probabilidade 1. Vamos usar conceitos de probabilidade e propriedades de variáveis aleatórias para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ P(|X - \mu| \geq c) = 0 $ para todo $ c > 0 $. Essa expressão está dizendo que a probabilidade de $ X $ estar a uma distância de pelo menos $ c $ de $ \mu $ é zero, não importa o valor positivo de $ c $. Em outras palavras, $ X $ nunca se afasta de $ \mu $ por mais de qualquer quantidade positiva $ c $.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando consideramos todos os possíveis valores de $ c $. Se para qualquer $ c > 0 $, a probabilidade de $ X $ estar a pelo menos $ c $ de $ \mu $ é zero, isso implica que a probabilidade de $ X $ ser exatamente igual a $ \mu $ deve ser 1. Porque se houvesse alguma chance de $ X $ ser diferente de $ \mu $, mesmo que por um infinitesimal, escolheríamos um $ c $ correspondente a essa diferença e teríamos uma probabilidade maior que zero, o que contraria a hipótese.

Passo 4

Formalizando isso, podemos usar o fato de que $ \lim_{c \to 0} P(|X - \mu| \geq c) = P(|X - \mu| > 0) $. Mas sabemos que $ P(|X - \mu| \geq c) = 0 $ para todo $ c > 0 $, então $ P(|X - \mu| > 0) = 0 $. Isso significa que $ P(X \neq \mu) = 0 $, ou seja, $ P(X = \mu) = 1 $.

Resposta

Portanto, $ P(X = \mu) = 1 $.

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