Sejam X e Y v.a. f(x, y)=c(25-x^2-y^2),(x, y) in R
onde R=(x, y) ; x^2+y^2 <= 5. Determine a constante c e calcule a probabilidade de que 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a constante $ c $ numa função de densidade conjunta $ f(x, y) = c(25 - x^2 - y^2) $ definida na região $ R = {(x, y) ; x^2 + y^2 \leq 5} $. Depois, a gente precisa calcular a probabilidade de que $ 0 < X^2 + Y^2 < 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades com funções de densidade conjunta e integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, pra encontrar a constante $ c $, a gente precisa garantir que a integral da função de densidade $ f(x, y) $ sobre toda a região $ R $ seja igual a 1, que é uma propriedade fundamental das funções de densidade de probabilidade. Ou seja:
c

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Nessa mudança, o elemento de área $ dx , dy $ vira $ r , dr , d\theta $, e a região $ R $ que é um círculo de raio $ \sqrt{5} $ fica com $ r $ variando de 0 a $ \sqrt{5} $ e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral0^2pi integral0^raiz5 c(25 - r^2) cdot r , dr , dtheta = 1
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ r $.

Passo 5

Integrando em relação a $ r $:
r
Substituindo $ r = \sqrt{5} $:
integral0^raiz5 (25 - r^2) cdot r , dr = integral0^raiz5 25r - r^3 , dr = [ 25r^22 - r^44 ]0^raiz5

Passo 6

Agora, substituindo de volta na integral dupla:
c cdot integral0^2pi 2254 , dtheta = c cdot 2254 cdot 2pi = c cdot 2252 pi = 1
Para encontrar $ c $:
c

Passo 7

Agora que temos $ c $, vamos calcular a probabilidade de que $ 0 < X^2 + Y^2 < 4 $. Isso é equivalente a calcular a integral de $ f(x, y) $ sobre a região onde $ r^2 $ está entre 0 e 4, ou seja, $ 0 < r < 2 $.
Usando coordenadas polares novamente:
c

Passo 8

Substituindo $ c = \frac{2}{225\pi} $ na integral:
c = 2225pi
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
P = 2225pi cdot integral0^2pi integral0^2 (25 - r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 9

Agora, substituindo de volta:
P = 2225pi cdot integral0^2pi 46 , dtheta = 2225pi cdot 46 cdot 2pi = 2 cdot 46 cdot 2pi225pi = 184pi225pi = 184225

Resposta

A constante $ c $ é $ \frac{2}{225\pi} $ e a probabilidade de que $ 0 < X^2 + Y^2 < 4 $ é $ \frac{184}{225} $.

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