Sejam
e
v.a.
onde
. Determine a constante c e calcule a probabilidade de que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a constante $ c $ numa função de densidade conjunta $ f(x, y) = c(25 - x^2 - y^2) $ definida na região $ R = {(x, y) ; x^2 + y^2 \leq 5} $. Depois, a gente precisa calcular a probabilidade de que $ 0 < X^2 + Y^2 < 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades com funções de densidade conjunta e integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, pra encontrar a constante $ c $, a gente precisa garantir que a integral da função de densidade $ f(x, y) $ sobre toda a região $ R $ seja igual a 1, que é uma propriedade fundamental das funções de densidade de probabilidade. Ou seja:
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Nessa mudança, o elemento de área $ dx , dy $ vira $ r , dr , d\theta $, e a região $ R $ que é um círculo de raio $ \sqrt{5} $ fica com $ r $ variando de 0 a $ \sqrt{5} $ e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ r $.
Passo 5
Integrando em relação a $ r $:
Substituindo $ r = \sqrt{5} $:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na integral dupla:
Para encontrar $ c $:
Passo 7
Agora que temos $ c $, vamos calcular a probabilidade de que $ 0 < X^2 + Y^2 < 4 $. Isso é equivalente a calcular a integral de $ f(x, y) $ sobre a região onde $ r^2 $ está entre 0 e 4, ou seja, $ 0 < r < 2 $.
Usando coordenadas polares novamente:
Passo 8
Substituindo $ c = \frac{2}{225\pi} $ na integral:
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
Passo 9
Agora, substituindo de volta:
Resposta
A constante $ c $ é $ \frac{2}{225\pi} $ e a probabilidade de que $ 0 < X^2 + Y^2 < 4 $ é $ \frac{184}{225} $.