Uma variável aleatória X possui a seguinte f.d.p
fX(x)= 12, & se x=-c 12, & se x=c
  1. Calcule E[X], Var[X]
  2. Calcule Prob(|X-E[X]| <= c)
  3. Mostre que Prob(|X-E[X]| <= c) <= sigmaX^2c^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma variável aleatória $ X $ que pode assumir dois valores: $ -c $ e $ c $, cada um com probabilidade igual a $ \frac{1}{2} X çá E[X] -c â Var[X] $)** para encontrar as respostas pedidas. Também vamos usar propriedades de probabilidades envolvendo desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Esperança Matemática de $ X $, que é basicamente a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir. A fórmula é:
X
No nosso caso, $ X $ pode ser $ -c $ ou $ c $, cada um com probabilidade $ \frac{1}{2} $. Então:
X

Passo 3

Agora, vamos calcular a Variância de $ X $, que mede o quanto os valores de $ X $ estão afastados da média. A fórmula da variância é:
X
Já sabemos que $ E[X] = 0 $, então precisamos calcular $ E[X^2] $:
X
Assim, a variância fica:
Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2

Passo 4

Vamos para a segunda parte: calcular $ Prob(|X - E[X]| \leq c) $. Sabemos que $ E[X] = 0 $, então a expressão dentro da probabilidade fica $ |X| \leq c $.
Vamos analisar os valores que $ X $ pode assumir:
  • Se $ X = -c $, então $ |X| = c $, que é igual a $ c $.
  • Se $ X = c $, então $ |X| = c $, que também é igual a $ c $.
Portanto, em ambos os casos, $ |X| \leq c $ é verdadeiro. Como as duas possibilidades têm probabilidade $ \frac{1}{2} $ cada, a probabilidade total é:
Prob(|X - E[X]| <= c)

Passo 5

Por fim, vamos mostrar que $ Prob(|X - E[X]| \leq c) \leq \frac{\sigma_X{2}}{c{2}} $. Sabemos que $ \sigma_X^{2} = Var[X] = c^2 $ e que a probabilidade que calculamos foi 1.
Vamos substituir na inequação:
Prob(|X - E[X]| <= c) <= sigmaX^2c^2
Isso mostra que a desigualdade é válida.

Resposta

  1. $ E[X] = 0 $, $ Var[X] = c^{2} $
  2. $ Prob(|X - E[X]| \leq c) = 1 $
  3. A desigualdade $ Prob(|X - E[X]| \leq c) \leq \frac{\sigma_{X}{2}}{c{2}} $ é satisfeita, pois $ 1 \leq 1 $

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