Uma variável aleatória
possui a seguinte f.d.p
- Calcule
- Calcule
- Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma variável aleatória $ X $ que pode assumir dois valores: $ -c $ e $ c $, cada um com probabilidade igual a $ \frac{1}{2}
E[X]
Var[X] $)** para encontrar as respostas pedidas. Também vamos usar propriedades de probabilidades envolvendo desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a Esperança Matemática de $ X $, que é basicamente a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir. A fórmula é:
No nosso caso, $ X $ pode ser $ -c $ ou $ c $, cada um com probabilidade $ \frac{1}{2} $. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a Variância de $ X $, que mede o quanto os valores de $ X $ estão afastados da média. A fórmula da variância é:
Já sabemos que $ E[X] = 0 $, então precisamos calcular $ E[X^2] $:
Assim, a variância fica:
Passo 4
Vamos para a segunda parte: calcular $ Prob(|X - E[X]| \leq c) $. Sabemos que $ E[X] = 0 $, então a expressão dentro da probabilidade fica $ |X| \leq c $.
Vamos analisar os valores que $ X $ pode assumir:
- Se $ X = -c $, então $ |X| = c $, que é igual a $ c $.
- Se $ X = c $, então $ |X| = c $, que também é igual a $ c $.
Portanto, em ambos os casos, $ |X| \leq c $ é verdadeiro. Como as duas possibilidades têm probabilidade $ \frac{1}{2} $ cada, a probabilidade total é:
Passo 5
Por fim, vamos mostrar que $ Prob(|X - E[X]| \leq c) \leq \frac{\sigma_X{2}}{c{2}} $. Sabemos que $ \sigma_X^{2} = Var[X] = c^2 $ e que a probabilidade que calculamos foi 1.
Vamos substituir na inequação:
Isso mostra que a desigualdade é válida.
Resposta
- $ E[X] = 0 $, $ Var[X] = c^{2} $
- $ Prob(|X - E[X]| \leq c) = 1 $
- A desigualdade $ Prob(|X - E[X]| \leq c) \leq \frac{\sigma_{X}{2}}{c{2}} $ é satisfeita, pois $ 1 \leq 1 $