Encontre f^prime(a) usando a definição de derivada, isto é, f^prime(a)=lim De. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
(b) f(x)=2 x+1x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de f^prime(a) = limDe no ponto usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas usando limites. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada definida por limite:
Além disso, precisamos determinar os domínios da função e da sua derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a definição de derivada para encontrar f^prime(a) = limDe. Substituímos na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Para facilitar, vamos calcular os numeradores separadamente:
f(a + De
f(a) = 2a + 1a + 3
Subtraindo f(a + De de :

Passo 4

Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum, que será f(a + De. Então:

Passo 5

Vamos expandir os numeradores:
(2a + 2De
(2a + 1)(a + De

Passo 6

Subtraindo os dois resultados:
(2a^2 + 6a + 2aDe
Então, a diferença fica:
f(a + De

Passo 7

Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
f^prime(a) = limDe
Podemos cancelar o f^prime(a) = limDe no numerador e denominador:

Passo 8

Agora que f^prime(a) = 5(a + 0 + 3)(a + 3) = 5(a + 3)^2 está eliminado do denominador, podemos calcular o limite substituindo por 0:

Passo 9

Finalmente, vamos determinar os domínios da função e da derivada :
  • Domínio de : A função está definida para todos os que não tornam o denominador zero. Então, .
  • Domínio de : A derivada também está definida para todos os que não tornam o denominador zero, ou seja, .

Resposta

A derivada de no ponto é . Tanto a função quanto sua derivada estão definidas para todos os números reais exceto .

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Seja função f(x) = |3x - 6| uma função real.
(a) Mostre que f(x) não é diferenciável em x = 2.
Determine se existe ou não f'(0).
d f(x) = { 2x + tan(x), x ≥ 0; x², x < 0 }