Encontre
usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de
no ponto
usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas usando limites. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada definida por limite:
Além disso, precisamos determinar os domínios da função
e da sua derivada
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a definição de derivada para encontrar
. Substituímos
na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Para facilitar, vamos calcular os numeradores separadamente:
Subtraindo
de
:
Passo 4
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum, que será
. Então:
Passo 5
Vamos expandir os numeradores:
Passo 6
Subtraindo os dois resultados:
Então, a diferença fica:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
Podemos cancelar o
no numerador e denominador:
Passo 8
Agora que
está eliminado do denominador, podemos calcular o limite substituindo
por 0:
Passo 9
Finalmente, vamos determinar os domínios da função
e da derivada
:
-
Domínio de
: A função está definida para todos os que não tornam o denominador zero. Então, → . -
Domínio de
: A derivada também está definida para todos os que não tornam o denominador zero, ou seja, .
Resposta
A derivada de
no ponto
é
. Tanto a função quanto sua derivada estão definidas para todos os números reais exceto
.
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usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Derive as funções abaixo usando as regras de diferenciação para funções potências.
Seja função
uma função real.
(a) Mostre que não é diferenciável em
.
(a) Mostre que
Determine se existe ou não
.