Seja função
uma função real.
(a) Mostre que
não é diferenciável em
.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
não é diferenciável em
. Isso entra no conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular a derivada dela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Se a função tiver uma reta tangente bem definida em
, ela é diferenciável ali. Caso contrário, não é.
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade em
, vamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita desse ponto. Se os dois limites forem iguais, a derivada existe; se forem diferentes, a função não é diferenciável naquele ponto.
Passo 4
Vamos calcular a derivada à esquerda (
se aproximando de 2 por valores menores):
Como
,
, então:
A derivada dessa parte é constante:
Agora, a derivada à direita (
se aproximando de 2 por valores maiores):
Para
,
, então:
A derivada dessa parte também é constante:
Passo 5
Comparando as derivadas à esquerda e à direita:
Como
, os limites são diferentes.
Resposta
Portanto, a função
não é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Encontre
usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Encontre
usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Determine se existe ou não
.
Derive as funções abaixo usando as regras de diferenciação para funções potências.