Seja função f(x) = |3x - 6| uma função real.
(a) Mostre que f(x) não é diferenciável em x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função não é diferenciável em . Isso entra no conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular a derivada dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Se a função tiver uma reta tangente bem definida em , ela é diferenciável ali. Caso contrário, não é.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade em , vamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita desse ponto. Se os dois limites forem iguais, a derivada existe; se forem diferentes, a função não é diferenciável naquele ponto.

Passo 4

Vamos calcular a derivada à esquerda ( se aproximando de 2 por valores menores):
Como , , então:
A derivada dessa parte é constante:
Agora, a derivada à direita ( se aproximando de 2 por valores maiores):
Para , , então:
A derivada dessa parte também é constante:

Passo 5

Comparando as derivadas à esquerda e à direita:
Como , os limites são diferentes.

Resposta

Portanto, a função não é diferenciável em .

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