Determine se existe ou não f'(0).
d f(x) = { 2x + tan(x), x ≥ 0; x², x < 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se existe a derivada de em . O enunciado nos dá uma função definida por partes:
Para descobrir se existe, vamos trabalhar com o conceito de derivada em um ponto, especificamente verificando se as derivadas laterais à direita e à esquerda em são iguais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de . Observando que para , a função é . Substituindo :
Então, .

Passo 3

Agora vamos encontrar a derivada pela direita, ou seja, quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ). A função nessa região é .
A derivada de nessa parte é:
Calculando em :
Então, a derivada pela direita é 3.

Passo 4

Agora vamos encontrar a derivada pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 0 pelo lado negativo ( ). A função nessa região é .
A derivada de nessa parte é:
Calculando em :
Então, a derivada pela esquerda é 0.

Passo 5

Para que a derivada exista, as derivadas pela direita e pela esquerda em devem ser iguais. Neste caso:
Como , as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

Não, não existe.

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