Determine se existe ou não f'(0).
d f(x) = { 2x + tan(x), x ≥ 0; x², x < 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se existe a derivada de em . O enunciado nos dá uma função definida por partes:
Para descobrir se existe, vamos trabalhar com o conceito de derivada em um ponto, especificamente verificando se as derivadas laterais à direita e à esquerda em são iguais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de . Observando que para , a função é . Substituindo :
Então, .

Passo 3

Agora vamos encontrar a derivada pela direita, ou seja, quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ). A função nessa região é .
A derivada de nessa parte é:
Calculando em :
Então, a derivada pela direita é 3.

Passo 4

Agora vamos encontrar a derivada pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 0 pelo lado negativo ( ). A função nessa região é .
A derivada de nessa parte é:
Calculando em :
Então, a derivada pela esquerda é 0.

Passo 5

Para que a derivada exista, as derivadas pela direita e pela esquerda em devem ser iguais. Neste caso:
Como , as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

Não, não existe.

Exercícios relacionados

Seja função f(x) = |3x - 6| uma função real.
(a) Mostre que f(x) não é diferenciável em x = 2.
Encontre f^prime(a) usando a definição de derivada, isto é, f^prime(a)=lim De. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
(b) f(x)=2 x+1x+3
Derive as funções abaixo usando as regras de diferenciação para funções potências.
g(x) = x^2 + 1/x^2
Derive as funções abaixo usando as regras de diferenciação para funções potências.
m g(x) = (1 + raiz(x)) * (x - x^3)