Determine se existe ou não
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se existe a derivada de
em
. O enunciado nos dá uma função definida por partes:
Para descobrir se
existe, vamos trabalhar com o conceito de derivada em um ponto, especificamente verificando se as derivadas laterais à direita e à esquerda em
são iguais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
. Observando que para
, a função é
. Substituindo
:
Então,
.
Passo 3
Agora vamos encontrar a derivada pela direita, ou seja, quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo (
). A função nessa região é
.
A derivada de
nessa parte é:
Calculando em
:
Então, a derivada pela direita é 3.
Passo 4
Agora vamos encontrar a derivada pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de 0 pelo lado negativo (
). A função nessa região é
.
A derivada de
nessa parte é:
Calculando em
:
Então, a derivada pela esquerda é 0.
Passo 5
Para que a derivada
exista, as derivadas pela direita e pela esquerda em
devem ser iguais. Neste caso:
Como
, as derivadas laterais não são iguais.
Resposta
Não,
não existe.
Exercícios relacionados
Seja função
uma função real.
(a) Mostre que não é diferenciável em
.
(a) Mostre que
Encontre
usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Derive as funções abaixo usando as regras de diferenciação para funções potências.
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