Encontre F(s) ou f(t).
L^{-1}{e^{-\pi s}}{s^{2}+1}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso faz parte do estudo das Transformadas de Laplace, especificamente usando propriedades de deslocamento no tempo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada inversa básica de e entender como o termo afeta essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de é . Ou seja:
Portanto, a transformada inversa de é simplesmente :

Passo 3

Agora, observe que temos um fator extra no numerador: . Esse termo representa um deslocamento no tempo na transformada inversa. A propriedade que usamos aqui é a seguinte:
Onde:
  • a é o deslocamento no tempo.
  • é a função degrau de Heaviside, que é 0 para e 1 para .
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde e , temos:

Passo 4

Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
Onde é a função degrau que ativa a função a partir de .

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