Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
e já faz parte da solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Os termos com
e
se cancelam, restando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
Determine a área da parte da superfície
que estâ acima do triângulo com vértices
e
.
Resolva as equações:
Encontre F(s) ou f(t).
.