Resolva as equações: y'' - 4y' + 4y = 2e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é e já faz parte da solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 5

Calculando as derivadas de :

Passo 6

Substituindo , e na equação original:
Simplificando os termos:
Os termos com e se cancelam, restando:

Passo 7

Resolvendo para :
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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